I ponti di Quackenberg

Nel 1736 troviamo, in una allegra e dinamica cittadina del centro Europa, Paperino che fa le consegne per la panetteria e pasticceria di Nonna Papera. Per effettuare le consegne deve attraversare ogni giorno i sette ponti costruiti per collegare Quackenberg alle sue due isole che sorgono nel mezzo del fiume Pretzel e pagare un pedaggio al borgomastro, il suo “amabile” zio Paperone. Nasce allora una sfida tra zio e nipote, che vorrebbe l’esenzione dal pedaggio per tutti i lavoratori della città:

Al tuo posto riuscirei ad attraversare sette ponti senza passare due volte per lo stesso! (…) Supera la prova e riserverò una tariffa speciale a tutti i garzoni come te! Solo mezza corona per ogni passaggio!

Mentre Paperino si prodiga in inutili, ma divertenti tentativi di superare la prova in modo creativo, a studiare il problema ci pensa Eulero De Paperis, il dotto di Quackenberg che, come avrete intuito dal nome, è la versione papera del ben più famoso Eulero, o per essere più aderenti al suo nome, del matematico svizzero Leonhard Euler.

Il problema dei sette ponti di Konigsberg

Konigsberg al tempo di Euler: in rosso i 7 ponti (1)

La cittadina di Konigsberg (2) , questo il nome vero, sorge sulle rive del fiume Pregel. Venne fondata nel 1254 dai cavalieri teutonici guidati dal re boemo Ottoker II. Nel Medioevo, la città divenne un importante centro commerciale proprio grazie alla sua strategica posizione sul fiume: lo sviluppo di Konigsberg nel corso dei secoli fu tale per cui l’amministrazione poté costruire sette ponti per collegare le due rive con le isole al centro, di cui quella più importante nonché maggiormente collegata è quella di Kneiphof.
I konigsberghiani erano soliti, la domenica, soprattutto con il bel tempo, passeggiare per le strade della loro bella città e così idearono il gioco di cui sopra:

è dunque possibile trovare un percorso chiuso (punto di inizio e punto di fine coincidono) in grado di attraversare tutti i sette ponti una e una sola volta?

Il problema, nonostante la sua apparente banalità (3) , attirò l’attenzione di Euler, che abitava lì vicino (a Sanpietroburgo). A quanto pare venne a conoscenza della questione grazie al sindaco di Danzig, tale Carl Leonhard Gottlieb Ehler, che gli chiedeva una soluzione al problema (4) .

Una nuova branca della matematica

Dall’articolo di Euler

La soluzione di Euler al quesito uscì nel 1736 in un articolo (5) che pose le le basi di quella che sarà la meglio nota teoria dei grafi, e che può essere così riassunta:
Un grafo, o reticolo, è una figura bidimensionale caratterizzata da due elementi: i nodi, ovvero dei punti di passaggio obbligatori, e gli archi, ovvero le linee che congiungono i nodi. I primi si distinguono tra nodo pari, ovvero un punto in cui converge un numero pari di archi, e nodo dispari, ovvero un punto in cui converge un numero dispari di archi. Un reticolo euleriano è, quindi, un reticolo contenente nodi pari o al più due nodi dispari. Un reticolo euleriano è completamente percorribile (e può essere disegnato) senza mai staccare la penna dal foglio, partendo da un dato nodo e finendo alla fine su di esso. Si distinguono, poi, due generi di reticoli euleriani: quello chiuso e quello aperto, dove per chiuso si intende un reticolo che inizia e finisce sullo stesso nodo, mentre uno aperto che inizia e finisce su un nodo differente. Si avrà un reticolo chiuso quando tutti i nodi sono pari, si avrà un cammino aperto quando ci saranno due nodi dispari, uno come partenza della nostra camminata lungo il reticolo e l’altro come conclusione. Eulero dimostrò che nel caso di Konigsberg il reticolo era né aperto né chiuso, rispondendo quindi negativamente al quesito del rompicapo (6) .

Due parole sulla storia

Per la prima volta dall’inizio della serie di Topolino Comics&Science viene accreditata la consulenza dello scienziato che ha aiutato Francesco Artibani nello sviluppo dell’argomento sulla pagina a fumetti. Nel caso specifico è Alberto Saracco, dell’Università di Parma. Si occupa di analisi e geometria complessa oltre ad avere una solida esperienza nel campo della divulgazione che è confluita negli ultimi anni con la collaborazione al sito divulgativo MaddMaths! diretto da Roberto Natalini.
L’avventura, disegnata dal tratto rotondo e dinamico di Marco Mazzarello, è ricca di gag divertenti e propone nelle fasi conclusive una bellissima pagina doppia con la spiegazione del problema dei ponti di Quakenberg/Konigsberg:

Infine, a conclusione degli articoli di accompagnamento, una simpatica sfida con l’aggiunta di un ottavo ponte: i lettori sono così invitati a trovare uno dei possibili percorsi chiusi all’interno della mappa così modificata:

Forse unico dettaglio che stona, sebbene sia utile ad Artibani per inserire una citazione shakespeariana, è il suggerire che Paperone avesse già risolto da un po’ il problema dei sette ponti.
Ma in fondo è solo un dettaglio che nulla toglie alla gradevolezza e all’efficacia divulgativa della storia.


Note:
  1. via MacTutor History of Mathematics Archive 

  2. Oggi Kaliningrad 

  3. E’ lo stesso Euler a definirlo banale in una lettera del 1736 al matematico italiano Giovanni Marinoni 

  4. via Mathematical Association of America 

  5. Leonard Euler. Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (pdf)  

  6. Ian Stewart (2010). La piccola bottega delle curiosità matematiche del Professor Stewart. La biblioteca delle Scienze