Dominare la matematica

Una delle vignette più interessanti de Il dominatore della matematica è indubbiamente quella in cui il titolare della storia di Lars Jensen e Massimo Fecchi riesce a schivare una serie di tubi che, cadendo sulla strada, rischiano di schiacciarlo.
Il movimento di questi tubi è così complesso e caotico che è praticamente impossibile da calcolare per qualunque mente umana: come confermato dal finale della storia, il segreto Aadarsh è la sua mente artificiale.

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La mente del dominatore

Uno degli aspetti più interessanti della ricerca sull’intelligenza artificiale è capire come questa si sia raffinata. Dai primi algoritmi, che si potrebbe dire avevano un approccio deterministico a quelli odierni, che hanno un approccio statistico il salto è stato enorme e ha visto nel loro percorso non solo le punte massime di Deep Blue, l’algoritmo sviluppato dalla IBM appositamente per sfidare Garry Kasparov, o di AlphaGo, il software che ha sconfitto il campione coreano di go Lee Sedol. Entrambi gli algoritmi alla base delle due macchine presentano degli indubbi vantaggi, sfruttando in maniera opportuna la velocità di calcolo e la possibilità di adattarsi ad alcune specificità dei giochi per cui sono state programmate.
Deep Blue, ad esempio, programmata per essere il miglior giocatore di scacchi possibile, aveva dalla sua anche un database piuttosto vasto di partite, soprattutto di aperture e chiusure, che permise alla macchina sviluppata dall’IBM di sconfiggere Kasparov nella seconda sfida. Con apparentemente poca sportività Kasparov considerò quella sfida un pareggio, poiché nella partita decisiva lo scacchista russo commise un errore che risultò determinante per l’esito proprio a causa del vasto manuale memorizzato all’interno del computer (opportunamente smantellato dopo la sfida evidentemente per evitare un nuovo confronto).
AlphaGo, invece, aveva da affrontare innanzitutto un problema di calcolo incredibilmente superiore rispetto a DeepBlue: le partite possibili a Go sono all’incirca 10359, un numero enorme persino per il più veloce dei computer. Per ridurre drasticamente le possibilità AlphaGo utilizza un approccio statistico unito alla mole di dati acquisita determinando così le mosse migliori tra quelle più utilizzate.
AlphaGo, allora, può essere considerato come l’approssimazione migliore alla ricetta del Dominatore della matematica:

Una combinazione di matematica, statistica, stime ponderate e logica!

Calcoli mentali

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Altra curiosità che emerge da Il dominatore della matematica è l’esercizio mentale del calcolo della radice quadrata di 487 moltiplicato per 4.87. A ben vedere si possono applicare alcuni piccoli trucchi che permettono di approssimare il risultato senza bisogno della calcolatrice. Partiamo dall’osservazione che 487 = 4.87 * 100 e quindi il primo passo è valutare la radice quadrata di 4.87. Essa sarà sicuramente un valore superiore a 2 (22 = 4) e inferiore a 3 (32 = 9). Un veloce calcolo ci permette di stabilire che 2.22 = 4.84, quindi non commetteremmo un grosso errore approssimando la radice quadrata di 4.87 con 2.2.
Ora, sapendo che la radice quadrata di 100 è 10, per trovare il risultato del quesito proposto nella storia, non resta che moltiplicare 2.2 * 10 * 4.87 = 2.2 * 10 * 5 – 2.2 * 10 * 0.13 = 110 – 1.76 = 107.14 contro 107.47 e spiccioli che è la risposta corretta, con una approssimazione di 0.37 circa che è più che soddisfacente quando, ad esempio, si hanno tempi di risposta piuttosto stretti come capita in diretta televisiva!

Nel segno di Fermat

Un po’ più avanti nella storia, il dominatore della matematica si trova coinvolto dai Bassotti in una rapina ai danni di Paperone. Grazie alla sua mente matematica, riesce a determinare la combinazione della serratura elettronica del capannone di PdP:

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Il Fermat del teorema citato da Aadarsh (1) nella penultima delle vignette qui sopra è il famoso Pierre de Fermat, autore dell’ultimo teorema di Fermat, una sorta di generalizzazione delle terne pitagoriche.
Le terne pitagoriche sono i tre numeri naturali che risolvono il teorema di Pitagora, ovvero la somma dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa, o in termini matematici

a^2+b^2=c^2

Fermat generalizza questa formula:

a^n+b^n=c^n

dove n è un numero naturale maggiore di 2. Il suo teorema afferma che non esiste alcuna terna di numeri interi che permette all’eguaglianza di risultare vera. Vi risparmio la storia sulla dimostrazione, ma come potete ben vedere questo teorema non tratta di numeri primi. Fermat, però, ai numeri primi si è interessato sul serio, ottenendo anche tutta una serie di risultati interessanti, su tutti il piccolo teorema di Fermat, evidentemente quello cui fa riferimento Jensen nel testo del fumetto:

a^p \equiv a (\mod p)

con a numero naturale qualsiasi, p numero primo, \mod operazione di modulo, ovvero l’operazione che restituisce il resto della divisione, in questo caso, per il primo p. Il teorema risulta vero soltanto se p è un numero primo, in tutti gli altri casi no.
E’ interessante rilevare come è proprio il piccolo teorema di Fermat la base matematica della crittografia a chiave pubblica, il miglior sistema possibile per proteggere la diffusione dei dati sensibili sulla rete, chiudendo in un certo senso il cerchio con l’ultima vignetta di cui sopra, visto che è proprio un numero primo la combinazione del chiavistello elettronico di Paperone!


Note:
  1. Sezione aggiunta il 2 ottobre 2016