Pico e Paperoga profeti del caos

Pico e Paperoga profeti del caos

Grazie al bollino di Topolino Comics&Science il lettori possono godersi storie esplicitamente pensate per la divulgazione della scienza, eppure nel dna del settimanale disneyano la scienza è sempre stata presente. Così ancora oggi la scienza su Topolino #3288 è presente non solo con il servizio dedicato all’astronauta Chris Hadfield, il primo canadese ad aver compiuto una passeggiata nello spazio, ma famoso soprattutto per la cover spaziale di Space Oddity di David Bowie, ma anche nella storia Paperino, Paperoga e il mobile caotico.
Al limite del surreale, l’avventura, scritta da Fausto Vitaliano per i disegni di Umberto Fizialetti, ha per protagonista il genio del caos, Paperoga, come ben identificato da una delle battute più efficaci mai scritte per il personaggio:

Il caos non è altro che l’ordine visto dalla parte opposta.

Eppure non è solo il surreale cugino di Paperino a essere esperto di caos, ma anche un luminare come Pico de Paperis, e la cosa non deve nemmeno stupire.

Di biliardi e farfalle

Vitaliano, con un’efficacia che non ha mostrato in occasione della spiegazione dell’effetto tunnel, utilizza il personaggio in una sequenza di un paio di paginette per spiegare con efficacia la teoria del caos utilizzando il biliardo.







La scelta del biliardo non è casuale, come vedremo tra poco, se avrete la pazienza di arrivare fino in fondo. Andiamo, però, con ordine e vediamo cos’è la teoria del caos e cosa ha a che fare con farfalle e viaggiatori nel tempo.

La farfalla che cambiò la storia

Ciò che meglio identifica la teoria del caos è l’effetto farfalla, che identifica in maniera semplice ed efficace la forte dipendenza dei sistemi caotici dalle condizioni iniziali. Il nome venne utilizzato per la prima volta da Edward Lorentz, che pubblicò nel 1963 il primo articolo su tale effetto (1) .
La versione popolare dell’effetto farfalla recita più o meno così: Il battito di ali di una farfalla in Brasile provoca un uragano a New York e l’uso della farfalla venne probabilmente suggerito a Lorentz dal racconto del 1952 di Ray Bradbury A sound of thunder (2) in cui un incauto viaggiatore del tempo, uscendo dal percorso stabilito dall’agenzia di viaggi e calpestando così una farfalla, arriva addirittura a modificare il risultato delle ultime elezioni presidenziali statunitensi, permettendo a un fascista di diventare l’uomo più potente del pianeta!
Dal punto di vista scientifico uno dei problemi più tipicamente caotici è quello delle previsioni del tempo, proprio a causa della grande quantità di variabili che sono presenti. La comparsa dei comportamenti caotici, però, non sarebbe così scientificamente interessante se non fosse per una loro particolare caratteristica: le leggi fondamentali che regolano ad esempio il tempo sono deterministiche e singolarmente facilmente risolvibili, ma combinando insieme un grande numero di tali equazioni, non solo la risoluzione del sistema risulta più complicata, tanto da dover utilizzare i calcolatori elettronici, ma anche la soluzione mostra un comportamento caotico graficamente ben identificato dagli attrattori di Lorentz:

L’immagine di sopra mostra l’andamento di un sistema caotico. La sua posizione è variabile, anche di molto, nel tempo, ma presenta una caratteristica interessante: il sistema oscilla intorno a due punti stabili, i due attrattori, ad esempio il bello e il cattivo tempo, giusto per restare nel tema delle previsioni del tempo, oppure due centri gravitazionali se proviamo a studiare il sistema di tre corpi nello spazio, come ad esempio Sole, Terra e Luna.
Il problema dei tre corpi, infatti, è un altro tipico esempio di sistema caotico, come è emerso dalla risoluzione numerica del problema. Ovviamente Sole-Terra-Luna non mostra andamenti così evidentemente caotici, ma non dimentichiamo che lo stesso sistema solare è molto più complesso di questi tre soli oggetti.
Il punto centrale della teoria del caos è che, per ottenere comportamenti statistici, non è necessario partire da leggi statistiche, ma è l’alto numero di variabili a complicare la faccenda.

Il biliardo statistico

Lo stadio di Bunimovich – via commons

Un interessante sistema matematico che mostra un comportamento caotico è il biliardo dinamico (3) . Come nel vero biliardo, abbiamo una tavola su cui vengono lanciata una pallina. Questa, come nel biliardo vero, urterà sui bordi rimbalzando secondo le usuali leggi del biliardo, ma a differenza di quello vero non ci sono buche dentro le quali cadere né attrito a rallentare il moto della pallina, che così continuerà a muoversi per sempre. Inoltre un biliardo dinamico può avere anche bordi con forme differenti da quelle dritte tipiche del rettangolo o essere addirittura multidimensionali. Quello che accomuna tutti questi biliardi dinamici è il comportamento caotico della pallina e la caratteristica ergodica del suo moto: la pallina, infatti, prima o poi, colpirà tutti i punti del bordo del biliardo. Questo fatto, però, non rende più semplice predire il comportamento della pallina, anzi complica la predizione, proprio perché la pallina, e più in generale un sistema caotico, può fare esattamente quel che gli pare in funzione delle condizioni al contorno.
Ciò che però in qualche modo semplifica le previsioni del tempo, rendendole in qualche modo più accurate, è un interessante risultato noto come teorema ergodico di Birkhoff, scoperto nel 1931 dal matematico statunitense George David Birkhoff. Il teorema afferma che, pur non potendo prevedere esattamente la traiettoria di una pallina in un biliardo dinamico, è possibile predire accuratamente quanta porzione di tempo la pallina passerà in una data regione del tavolo. Ad esempio se stiamo osservando un gas, allora pur non essendo in grado di dire esattamente dove si troveranno le sue particelle in ogni istante, saremo comunque in grado di predire grandezze come pressione e temperatura.

Il wind-tree model

Il biliardo dinamico, però, non ha finito di stupire i matematici. Prendiamo il modello degli Ehrenfest. Proposto nel 1907 da Paul Ehrenfest e dalla moglie Tatyana Afanasyeva per spiegare il secondo principio della termodinamica, considera N particelle in un contenitore diviso in due zone. Le particelle passano da una zona all’altra in maniera indipendente secondo un certo tasso di scambio. I due fisici, però, non si accontentarono di questo modello e nel 1912 proposero una sua variazione, il wind-tree model (4) , ovvero un gas che si muove all’interno di un contenitore infinito ma con degli ostacoli rettangolari al suo interno.
Ebbene, nel 2011 i due matematici Corinna Ulcigrai e Krzysztof Fraczek studiarono una versione generalizzata del modello, ottenendo un risultato inatteso (5) : le traiettorie non erano ergodiche! Non necessariamente, dunque, complicare la situazione conduce a comportamenti caotici. A meno di non imbattersi in Paperoga!


Note:
  1. Lorenz, E. N., 1963, Deterministic nonperiodic flow, Journal of the atmospheric sciences, vol.20, n.2, pp. 130-141 doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2
     

  2. Rumore di tuono, prima pubblicazione italiana nel 1962 – vedi la cronologia delle pubblicazioni italiane

  3. Leggi anche Chaos on the billiard table di Marianne Freiberger

  4. P. and T. Ehrenfest, Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik Encykl. d. Math. Wissensch. IV 2 II, Heft 6, 90 S (1912). 

  5. Krzysztof Frączek, Corinna Ulcigrai, 2013, 'Non-ergodic $\mathbb{Z}$ -periodic billiards and infinite translation surfaces', Inventiones mathematicae, vol. 197, no. 2, pp. 241-298 doi:10.1007/s00222-013-0482-z
    (arXiv).