Il rompicapo dei calzini spaiati

Orlando è un bambino curioso e quando si imbatte in un mistero non può fare a meno di indagare. Così quando sulla sua isola iniziano a scomparire i calzini, solo uno per ogni paio, il piccolo Orlando non può fare altro che prendere la lente di ingrandimento e seguire le tracce.
Il suo percorso, però, lo porta su una deviazione imprevista: verso una porta costruita sulla corteccia di un albero, ingresso per la tana di Ernst Zermelo. Questi non è un folletto, come raccontato nella versione dell’avventura fornita da Teresa Radice e Stefano Turconi, ma in qualche modo ci va vicino: è un matematico tedesco che nel 1904 formulò il così detto assioma della scelta:

Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento.

Enunciato così, non è dei più chiari, ma se proviamo a riformularlo facendo un esempio, capirete anche perché il buon Zermelo è legato al capo d’abbigliamento più amato dai nostri piedi!
Supponiamo di avere a disposizione un numero infinito di paia di scarpe. Prendiamo da ciascun paio una e una sola scarpa. In questo modo potremo costruire due insiemi ben distinguibili uno dall’altro: l’insieme delle scarpe destre e quello delle scarpe sinistre.
Supponiamo, invece, di avere un numero infinito di paia di calzini. Anche in questo caso prendiamo da ciascun paio un solo calzino. Purtroppo, poiché i calzini sono generalmente indistinguibili (evitiamo i calzini personalizzati ad hoc!), non è possibile costruire un insieme di calzini destri e uno di calzini sinistri, a meno di non avere una così detta funzione di scelta. Una funzione di tale genere, però, esiste solo se prendiamo per buono l’assioma della scelta, ovvero un assioma che ci garantisce che possiamo scegliere, nel caso specifico quale calzino è il destro e quale il sinistro.
A questo punto, grazie all’assioma della scelta, possiamo costruire l’insieme dei calzini destri e quello dei calzini sinistri.
Qualcuno, però, potrebbe obiettare: “Non ho bisogno di un assioma che mi permetta di scegliere qual’è il calzino destro e quale quello sinistro!“
E in effetti lo facciamo (scegliere un calzino) ogni volta che cambiamo i calzini ai piedi, ma su un numero di oggetti piccolo e comunque finito. Quando gli oggetti diventano tanti, al limite infiniti, la possibilità di scelta (e quindi di ordinamento dell’insieme) non è garantita, a meno di non utilizzare l’assioma della scelta.