Il rapporto degli astronomi con il pi greco

Oggi è il pi day e come ogni anno i matematti d’Italia hanno festeggiato il pi greco con la speciale edizione marzolina del Carnevale della Matematica ospitato dal mio blog principale, DropSea. Questo, però, non vuol dire che non ne possa “parlare” anche qui sul Cappellaio, in particolare partendo da una divertente vignetta di Randall Munroe, ingegnere e cartoonist scientifico, ideatore di xkcd. La vignetta mostra tre diversi approcci all’approssimazione del valore del pi greco, e il più radicale è quello degli astronomi e dei cosmologi, ed è di questo che proverò ad occuparmi nelle righe che seguono.
Se ragioniamo sui grandi numeri che coinvolgono l’astronomia, l’approssimazione bruta del pi greco non dovrebbe avere una grande incidenza sui risultati. Astronomi e cosmologi, infatti, hanno usualmente a che fare con numeri incredibilmente grandi, per cui qualche cifra decimale in più o in meno non dovrebbe modificare troppo il risultato generale: molti risultati, ad esempio, dell’ordine di grandezza del milione sono forniti con errori delle migliaia. Un esempio che sembrerebbe confermare ciò è la stima del numero di atomi presenti nell’universo, che al momento è di circa 10⁸⁰ cui avevo accennato nell’articolo sulla ricchezza di Paperone, ma che non si pensa possa essere poi molto più alta (e per molto si intende un 81 invece dell’80 come esponente).
Nonostante ciò gli astronomi usano non già l’1 per il valore di pi greco, ma un’approssimazione molto più raffinata:

3.141592653589793

In effetti questo è il valore utilizzato al JPL della NASA. Marc Rayman, direttore e ingegnere capo della missione Dawn, fornisce varie spiegazioni, ma già la prima mi sembra la più convincente:

The most distant spacecraft from Earth is Voyager 1. It is about 12.5 billion miles away. Let’s say we have a circle with a radius of exactly that size (or 25 billion miles in diameter) and we want to calculate the circumference, which is pi times the radius times 2. Using pi rounded to the 15th decimal, as I gave above, that comes out to a little more than 78 billion miles. We don’t need to be concerned here with exactly what the value is (you can multiply it out if you like) but rather what the error in the value is by not using more digits of pi. In other words, by cutting pi off at the 15th decimal point, we would calculate a circumference for that circle that is very slightly off. It turns out that our calculated circumference of the 25 billion mile diameter circle would be wrong by 1.5 inches. Think about that. We have a circle more than 78 billion miles around, and our calculation of that distance would be off by perhaps less than the length of your little finger.

O detto in parole semplici, conoscere pi solo fino alla 15.ma cifra decimale porta a un errore che è più piccolo di un’unghia su una distanza che è di svariati miliardi di chilometri!