Topolino #3470: Una 313 a memoria di forma

Su Topolino #3470, oltre all’atteso Topolibro dedicato alla matematica, era presente a sommario anche Paperino e l’auto smemorata di Marco Bosco e Giampaolo Soldati.
Il video dedicato al Topolibro, anche forte del fatto che questo è reperibile anche in fumetteria oltre che sul sito della Panini, verrà pubblicato prossimamente: devo solo capire come gestire le prossime uscire, visto che avrei l’intenzione di dedicare un video anche a Margherita Hack, di cui il 12 giugno ricorreranno i cento anni dalla nascita. Per cui, anche per non saltare lla storia della serie Topolino Comics&Science, eccovi il video dedicato alla 313 e, soprattutto, alle leghe a memoria di forma:

Visto che in questa occasione sono andato più o meno a braccio, il testo che vi propongo qui sotto è, invece, relativo al modello di Ising, uno dei modelli usati per descrivere alcune transizioni di fase particolari.

Il modello di Ising

Il modello porta il nome di chi riuscì a risolverlo per primo: Ernst Ising, infatti, lo ricevette come argomento di tesi da Wilhelm Lenz che lo aveva inventato nel 1920. La soluzione del suo studente arrivò nel 1924 per il caso a una dimensione. La struttura del modello è abbastanza semplice: una catena monodimensionale di spin descritta dalla seguente hamiltoniana:

dove sono gli spin dei siti , , è un numero reale positivo che misura l’interazione tra i primi vicini, e è una perturbazione esterna che nel caso più generale possibile la si fa variare sito per sito. Il modello serviva per comprendere il comportamento di una catena di spin, che ricordo possono assumere due valori, su e giù.
Come scritto, Ising risolse il caso monodimensionale in maniera completa, riscontrando l’assenza di fasi di transizione⁽¹⁾: studiando la funzione di correlazione tra due siti distinti, dipendente dal paramentro , si osserva che il sistema continua a rimanere disordinato qualunque sia il valore assunto dal parametro. Ciò spinse Ising a credere che il modello non avrebbe esibito alcuna transizione di fase nemmeno alle dimensioni superiori.
In realtà, come mostrato da Rudolf Peierls nel 1936 utilizzando argomentazioni matematiche, in due dimensioni per grandi il modello di Ising è ordinato come un ferromagnete⁽²⁾. La sua risoluzione analitica in due dimensioni, invece, arriva nel 1944 grazie a Lars Onsager⁽³⁾. Lo stesso Onsager nel 1949 aveva annunciato di aver determinato insieme con Bruria Kaufman una formula per la magnetizzazione spontanea del reticolo quadrato di Ising, ma non pubblicò il risultato⁽⁴⁾. Questa venne successivamente scoperta e pubblicata nel 1952 da Chen-Ning Franklin Yang⁽⁵⁾.
Invece nel caso monodimensionale, quando , con positivo, allora una catena di Ising ferromagnetica presenta delle transizioni di fase come quella a basse temperature mostrata da Freeman Dyson⁽⁶⁾ nel 1969 (con che varia tra 1 e 2, estremi esclusi).

1. Ising, E. (1925). Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus Zeitschrift für Physik, 31 (1), 253-258 DOI: 10.1007/BF02980577 ↩
2. Peierls, R., & Born, M. (2008). On Ising’s model of ferromagnetism Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 32 (03) DOI: 10.1017/S0305004100019174 ↩
3. Onsager, L. (1944). Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition Physical Review, 65 (3-4), 117-149 DOI: 10.1103/PhysRev.65.117 ↩
4. Baxter, R. (2011). Onsager and Kaufman’s Calculation of the Spontaneous Magnetization of the Ising Model Journal of Statistical Physics, 145 (3), 518-548 DOI: 10.1007/s10955-011-0213-z (arXiv) ↩
5. Yang, C. (1952). The Spontaneous Magnetization of a Two-Dimensional Ising Model Physical Review, 85 (5), 808-816 DOI: 10.1103/PhysRev.85.808 ↩
6. Dyson, F. (1969). Existence of a phase-transition in a one-dimensional Ising ferromagnet Communications in Mathematical Physics, 12 (2), 91-107 DOI: 10.1007/BF01645907 ↩