Non sono un lettore regolare di Linus. Lo sono stato per un periodo di tempo abbastanza breve, e sono stato un acquirente, per un po’ regolare, delle ristampe allegate con i quotidiani di qualche anno fa. Nemmeno l’approdo di Igort alla direzione della rivista mi ha spinto a diventare un lettore regolare, se non per l’acquisto, qua e là, di qualche numero particolare((Pensate: non ho acquistato nemmeno quelli dedicati a Stan Lee e Walt Disney!)), come fu quello dedicato ad Alan Moore (datato dicembre 2019) o quello dedicato a Maurits Cornelis Escher di recente pubblicazione (luglio 2024).
Non essendo Escher un fumettista, ma un artista che comunque ha avuto una profonda influenza sull’arte del XX secolo, fumetto incluso (come ben testimoniato in questo vecchio post di Marco D’Angelo), lo speciale si è sviluppato soprattutto con una serie di articoli di approfondimento, su cui spicca quello di Federico Giudiceandrea, curatore delle mostre escheriane che ci sono in giro per l’Italia nonché del patrimonio artistico che ci ha lasciato l’incisore olandese. Quest’ultimo, prima della sua svolta geometrica (o ipergeometrica: ci arriveremo a breve), è stato un valente paesaggista, producendo diverse opere interessanti di ciò che vedeva nei suoi giri in Italia, paese dove risiedette per un decennio circa fino a che non si rese conto di essere finito in un posto non proprio tranquillo dove vivere (l’Italia era diventata nel frattempo fascista).
Sebbene, come ho potuto vedere in occasione di un breve post che ho dedicato al suo passaggio in Calabria, l’interesse per la geometria dello spazio era evidente sin dalle opere paesaggistiche, quelle più prettamente geometriche risalgono al periodo successivo al suo ritorno in Olanda, quando iniziò, come ricorda lo stesso Giudiceandrea, a intrecciare rapporti sempre più fitti con i matematici, probabilmente aiutato in questo dal fatto che il Congresso internazionale della matematica del 1954 si tenne ad Amsterdam.
Di fatto le opere di Escher si basano per lo più sulle figure impossibili, studiate in particolare da Roger Penrose((Curioso come molti hanno iniziato ad aggiungere ai suoi titoli quello di “fisico” dopo il Nobel assegnatogli nel 2020)), e sulle geometrie non euclidee, geometrie in cui l’assioma della parallela non rientra tra gli assiomi di base. In questo modo possiamo avere geometrie in cui nessuna retta ha una parallela, o altre situazioni paradossali in cui per un punto esterno a una retta passano infinite parallele e non una e una sola come siamo abituati basandoci sulla geometria euclidea.
Tra le figure impossibili, una delle più note è il triangolo di Penrose, che venne reso popolare nel 1958 in ambito accademico dallo stesso Penrose e dal padre Lionel, uno psicologo. Vi risparmio i dettagli matematici dietro la figura, che ho trattato in un vecchio post su DropSea. Quello che invece vorrei discutere nella prima parte di questo articolo è l’uso che Escher fece di alcune di queste figure impossibili, che mise in dubbio una delle forze su cui facciamo maggiore affidamento nella vita di tutti i giorni: la gravità.
Centri di gravità cangiante
Da questo punto di vista le opere che mettono più in discussione la forza gravitazionale sono la famosa Cascata del 1961, cui ho dedicato una puntata della mia rubrica dei Rompicapi di Alice, Su e giù del 1960 e, soprattutto, Relatività del 1953, titolo che omaggia Albert Einstein, uno degli scienziati che Escher ammirava più di tutti, ma che, forse senza nemmeno rendersene conto (in fondo le informazioni che sto per darvi hanno dato i loro frutti solo dopo la pubblicazione di quest’opera), anticipò un interessante risvolto all’interno della teoria della gravità a loop, che è stata sviluppata, tra gli altri, da Carlo Rovelli.
Per vederne il frutto bisogna aspettare 50 anni, quando nel 1988 venne pubblicato l’articolo fondativo della gravità a loop, scritto dal già citato Rovelli insieme con un altro fisico teorico, Lee Smolin. In questo caso l’idea era semplice: se il risultato di Bronstein ci dice che il campo gravitazionale non può essere quantizzato, allora noi proviamo a quantizzare direttamente lo spaziotempo!
Conseguenza di questo approccio è che al livello della così detta schiuma quantistica, ovvero alle dimensioni più piccole che si possano fisicamente immaginare (sì, dal punto di vista della fisica esiste una lunghezza al di sotto della quale non si può andare, detta lunghezza di Planck) non è più possibile distinguere tra le varie direzioni spaziotemporali, almeno non globalmente. Per cui, localmente, può accadere che in una certa porzione piccolissima di spaziotempo, il tempo punti verso una certa direzione (a destra, per esempio), mentre in un’altra porzione anche adiacente il tempo punti verso una direzione completamente differente (verso l’altro, per esempio). Proprio come fanno gli omini che si muovono in Relatività, che si spostano da una regione in cui la gravità punta verso il basso, come siamo abituati a sperimentare, verso una regione in cui la gravità è perpendicolare alla parete, e così via. In qualche modo, quindi, anticipando uno dei risultati più incredibili della gravità a loop.
Geometria iperbolica
Restiamo in ambito relativistico: Balconata del 1945, che in un certo senso potremmo considerare come l’unione tra una omotetia e una proiezione su una sfera, sembra raccontarci l’effetto di lente gravitazionale previsto nella relatività generale, la cui prima verifica sperimentale venne portata a compimento da Arthur Eddington e da due gruppi di astronomi che, da due punti differenti, andò a osservare l’eclissi del 29 maggio del 1919 proprio con lo scopo di verificare la previsione della teoria di Einstein.
C’è, però, un’altra opera più squisitamente geometrica su cui vorrei soffermarmi un po’ di più: Limite del cercho del 1958.
Anche questo è un disegno che è stato molto ben studiato da Penrose, che fa notare come l’illustrazione di Escher altri non è che una rappresentazione euclidea della geometria iperbolica.
Il modo per vederlo è, come sempre, relativamente semplice. Nell’ottica iperbolica i pesci bianchi e neri hanno tutti le stesse dimensioni. Nessuno di loro è più grande o più piccolo dell’altro. Inoltre nessuno di loro raggiunge mai il confine di questo piccolo universo, quello che noi vediamo come la circonferenza limite, ovvero la circonferenza che racchiude il disegno di Escher. Nell’ottica euclidea, invece, i pesci diventano via via più piccoli man mano che sembrano avvicinarsi alla circonferenza limite, fino a diventare di area trascurabile o nulla nel momento in cui la raggiungono.
Inoltre in tale rappresentazione le linee rette vengono rappresentate come porzioni di circonferenze euclidee che intersecano ortogonalmente, ovvero ad angolo retto, la circonferenza limite. In questo modo la nozione di angolo iperbolico tra due linee qualsiasi del piano che si intersecano coincide con la nozione di angolo euclideo tra due rette qualsiasi del piano che si intersecano. Ogni volta che accade qualcosa del genere, allora si parla di geometria conforme o modello conforme, in questo caso alla geometria iperbolica (per ulteriori dettagli tecnici, potrete proseguire su La geometria iperbolica dei pesci di Escher).
Vorrei quindi far notare come, visto il titolo, evidentemente Escher aveva ben compreso l’idea matematica dietro la geometria iperbolica, rivelando quindi una consapevolezza matematica decisamente fuori dal comune.
Inoltre Limite del cerchio unisce anche due altri grandi temi delle opere geometriche di Escher, quello della tassellazione del piano e quello della metamorfosi, ma spero che mi vorrete perdonare se chiudo qui questo lungo approfondimento matematico. L’ultima cosa con cui, invece, mi preme chiudere è far notare come le opere di Escher riescono a parlare un po’ a tutti, sia a un livello “superficiale”, comprensibile da ognuno di noi in quanto esseri umani, sia a un livello più profondo, quando cioè uniamo alla semplice, stupefacente osservazione delle sue illustrazioni la conoscenza matematica sottesa.
P.S.: in pratica ho linkato tutti i miei articoli squisitamente escheriani tranne l’unico a carattere un po’ più fumettistico, cosa che provvedo a fare immediatamente!
